נקודת שפה של D:

• נקודה $M_0$ היא נקודת שפה של D אם לכל $ϵ>0$ , $D\cap Bal{l}_{ϵ}(M_0)\ne 0$

קבוצה סגורה:

• קבוצה $D\subseteq {\mathbb{R}}^2$ נקראת קבוצה סגורה אם היא מכילה את כל נקודות השפה שלה.
• לדוגמא:
  • 

קבוצה חסומה:

• קבוצה D חסומה, אם קיים A > 0 כך שלכל $M_0\in D$ מתקיים $\parallel M_0\parallel <A$

משפט (ויירשטראס):

• אם f(x,y) רציפה בקבוצה $D\subseteq {\mathbb{R}}^2$ שהיא חסומה וסגורה, אז ל - f יש נקודת מקסימום ונקודת מינימום מוחלטים ב - D, כלומר:
  • קיימת נקודת מקסימום $M_2\in D$ ונקודת מינימום $M_1\in D$ כך שמתקיים: $f(m_1)\le f(m)\le f(m_2)]$ לכל $M\in D$
• הערה: כל כדור סגור הוא קבוצה סגורה וחסומה ואז ווירשטראס בתוקף.

נקודת קיצון עם אילוצים (שיטת כופלי לגראנז'):

• נדגים באמצעות "אילוץ" מהצורה $g(x,y)=0$ כאשר g רציפה ובעלת נגזרות חלקיות ורציפות.
• משפט כופלי לגראנז':
  • אם f(x,y) דיפרנציאבילית בתחום D ואם $M_0\in D$ שהיא נקודת קיצון של f ביחס לאילוץ g(x,y) = 0
  • ונוסיף כי $M_0$ נקודת מקסימום מקומי ביחס לאילוץ, לכל M שמקיימת שהפונקציה בנקודה שווה אפס מתקיים $F(m)=F(M_0)$
  • אז חייב להתקיים אחד מהבאים:
    • או ש- $\mathrm{\nabla }g(M_0)=(0,0)$
    • או ש- $\mathrm{\nabla }g(M_0)=(0,0)\mathrm{\nabla }f(M_0)=(0,0)$ הם קו לינארים.

אינטגרל כפול:

• כתיבה כללית: ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$
• הגדרה:
  • נגדיר מהו אינטגרל של f(x,y) בתחום מסוים $D\subseteq {\mathbb{R}}^2$ .
  • האנלוג של $[a,b]$ מחדווא 1 (האיזור החד ממדי שבו השטח כלוא בין a ל b) בשני ממדים הוא $D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,c\le y\le d\}$
  • נוכל לתאר אותו כ "הנפח של התחום שכלוא מתחת הגרף של f מעל D"
  • לדוגמא:
    • 
  • משפט פוביני:
    • אם f(x,y) רציפה בתחום $D=[a,b]\times [c,d]$ (מלבן כלשהוא) אז:
      • $${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_c^d({\int }_a^{b}f(x,y)dx)dy$$
      • כאשר קודם מבצעים אינטגרל על הסוגריים הפנימיות (כפונקציה של x ו - y קבוע) ואז על תוצאת הסוגריים הפנימיות עושים אינטגרל לפי y (ניתן גם להפוך את סדר העבודה).